题目内容
【题目】已知函数
(1)求函数的单调区间和
的极值;
(2)对于任意的,
,都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)对f(x)求导,再求导,得到二次导数恒大于0,又,得到
及
的x的范围,即可得到函数的单调区间及极值.
(2)由题意,只需,结合(1)可得最小值为
,比较
与
得到最大值,可求得结论.
(1)∵,
,其中
是
的导函数.
显然,,因此
单调递增,
而,所以
在
上为负数,在
上为正数,
因此在
上单调递减,在
上单调递增,
当时,
取得极小值为f(0)=1,无极大值.
∴的极小值为1,无极大值.单增区间为
,单减区间为
.
(2)依题意,只需
由(1)知,在
上递减,在
上递增,
∴在
上的最小值为
;
最大值为和
中的较大者
而
,
因此,
∴在
上的最大值为
所以,,解得
或
.
∴实数的取值范围是:
.
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