题目内容
【题目】已知椭圆的左,右焦点分别为
,
,
,M是椭圆E上的一个动点,且
的面积的最大值为
.
(1)求椭圆E的标准方程,
(2)若,
,四边形ABCD内接于椭圆E,
,记直线AD,BC的斜率分别为
,
,求证:
为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知,当M为椭圆E的上顶点或下顶点时,的面积取得最大值
,求出
,即可得答案;
(2)根据题意可知,
,因为
,所以可设直线CD的方程为
,将直线代入曲线的方程,利用韦达定理得到
的关系,再代入斜率公式可证得
为定值.
(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知,
当M为椭圆E的上顶点或下顶点时,的面积取得最大值
.
所以,所以
,
,
故椭圆E的标准方程为.
(2)根据题意可知,
,因为
,
所以可设直线CD的方程为.
由,消去y可得
,
所以,即
.
直线AD的斜率,
直线BC的斜率,
所以
,故
为定值.
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