题目内容

已知函数.
(I)求函数的单调区间;
(II)若函数上是减函数,求实数的最小值;
(III)若,使成立,求实数的取值范围.
(I) (II) (III)

试题分析:由已知函数的定义域均为,且.
(Ⅰ)函数,
时,.所以函数的单调增区间是.       3分
(Ⅱ)因f(x)在上为减函数,故上恒成立.
所以当时,

故当,即时,,所以,故
所以的最小值为.
(Ⅲ)“若,使成立”等价于
“当时,有”,
有(Ⅱ),当时,有
问题等价于:“当时,有
时,由(Ⅱ),上为减函数.
,故.
时,由于上为增函数,
的值域为,即
的单调性和值域知,唯一,使,且满足:
时,为减函数;
时,为增函数;
所以,=
所以,,与矛盾,不合题意.
综上,.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,同时考查不等式的证明,解题的关键是正确求导数,确定函数的单调性.
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