题目内容

设函数
(Ⅰ) 当时,求函数的极值;
(Ⅱ)当时,讨论函数的单调性.
(Ⅲ)若对任意及任意,恒有 成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ) 无极大值.
(Ⅱ)当时,上是减函数;
时,单调递减,在上单调递增;
时,单调递减,在上单调递增;
(Ⅲ) 

试题分析:(Ⅰ)函数的定义域为.  
时,2分
时,时, 无极大值. 4分
(Ⅱ) 
5分
,即时, 在定义域上是减函数;
,即时,令
,即时,令
      综上,当时,上是减函数;
时,单调递减,在上单调递增;
时,单调递减,在上单调递增;8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,上单减,是最大值, 是最小值.
  10分

经整理得,由,所以12分
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。涉及不等式恒成立问题,转化成了研究函数的最值之间的差,从而利用“分离参数法”又转化成函数的最值问题。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。
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