题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若在
处取极值,求
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)当时,若
有唯一的零点
,求证:
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:
本题考查导数的几何意义及导数在研究函数单调性、极值中的应用。(Ⅰ)根据函数在处取极值可得
,然后根据导数的几何意义求得切线方程即可。(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,令
,可得
在
上单调递减,在
上单调递增。结合函数的单调性和函数值可得
在
上有唯一零点,设为
,证明
即可得结论。
试题解析:
(Ⅰ)∵,
,
∵在
处取极值,
∴,解得
.
,
,
又.
∴在点
处的切线方程为
,
即
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,
令,
则
由,可得
在
上单调递减,在
上单调递增。
又,故当
时,
;
又,故
在
上有唯一零点,设为
,
从而可知在
上单调递减,在
上单调递增,
因为有唯一零点
,
故且
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