Question

【题目】（本小题满分12分）

已知，函数．

（I）当为何值时， 取得最大值？证明你的结论；

（II） 设在上是单调函数，求的取值范围；

（III）设，当时， 恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ).

【解析】试题分析：（I）求得f’(x)=[-x2+2(a-1）x+2a]ex，取得-x2+2(a-1)x+2a=0的根，即可得到数列的单调性，进而求解函数的最大值.

（II）由（I）知，要使得在[-1,1]上单调函数，则：，即可求解a的取值范围；

（III)由，分类参数得，构造新函数（x≥1)，利用导数求得函数h(x)的单调性和最值，即得到a的取值范围.

试题解析：

（I）∵， ，

∴，

由得，

则，

∴在和上单调递减，在上单调递增，

又时，且在上单调递增，

∴，

∴有最大值，当时取最大值．

（II）由（I）知：

，

或，

或；

（III）当x≥1时f(x)≤g(x)，即（-x2+2ax)ex，

，

令，则，

∴h(x)在上单调递增，

∴x≥1时h(x)≥h(1)=1，

，又a≥0所以a的取值范围是.