Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过抛物线C的焦点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x；（2）8.

【解析】

（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，求得p，即可得到所求抛物线方程；

（2）求得直线l的方程为y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．

解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，

∵|MF|=4，由抛物线的定义可得，

∴p=2．故所求抛物线方程为y2=4x；

（2）由（1）得p=2，焦点F（1，0），所以直线l的方程为y=x-1，

并设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y，得x2-6x+1=0，

所以x1+x2=6，

可得x1+x2+p=8，

所以|AB|=8．