题目内容
【题目】如图，在边长为
的菱形
中，
，
与
交于点
，将
沿直线
折起到
的位置（点
不与
，
两点重合）.
（1）求证：不论折起到何位置，都有
平面
；
（2）当
平面时，点
是线段
上的一个动点，若
与平面
所成的角为
，求
的值.
【答案】（1）详见解析；（2）
或
.
【解析】
（1）由线面垂直的判定定理，即可证明
平面
；
（2）用空间向量的方法，以
，
，
的方向分别为
，
，
轴正方向建立空间直角坐标系，设
，用
表示出直线与平面所成角的余弦值，再由
与平面
所成的角为
，即可求出结果.
（1）证明：因为四边形
是菱形，所以
.
因为
，点
是
的中点，
所以
.
又因为
平面，
平面，
，
所以平面.
（2）解：以，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系
如下图所示.
易知
，
，
，
则点
，
，
，
所以
，
.
设，则
.
所以
.
设平面的一个法向量为
，则
由
得
解得
令
，得平面的一个法向量为
，
所以
，
解得
.
故所求
的值为或.
练习册系列答案
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【题目】某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出来，（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）
年份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
人数y | 2 | 3 | 5 | 4 | 5 | 7 | 8 | 10 | 10 |
（1）求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差；
（2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x的线性回归方程，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位）
参考数据：回归直线的方程是
，其中
，
，
，
．
