题目内容
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的长轴长为4,若点P是椭圆C上任意一点,过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点,记直线PM、PN的斜率分别为KPM、KPN,当KPM•KPN=-
时,则椭圆方程为( )
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
4 |
A.
| B.
| C.x2+
| D.
|
由长轴长为4得2a=4,解得a=2,
设P(x0,y0),直线l方程为y=kx,M(x1,kx1),N(-x1,-kx1),
则KPM=
,KPN=
,
由KPM•KPN=-
得,
•
=-
,即
=-
,
所以4y02=(4k2+1)x12-x02①,
又P在椭圆上,所以
+
=1,即4y02=4b2-b2x02,代入①式得4b2-b2x02=(4k2+1)x12-x02,
所以4b2=(4k2+1)x12+(b2-1)x02,
因为点P为椭圆上任意一点,所以该式恒成立与x0无关,
所以b2-1=0,解得b=1,
所以所求椭圆方程为
+y2=1.
故选D.
设P(x0,y0),直线l方程为y=kx,M(x1,kx1),N(-x1,-kx1),
则KPM=
y0-kx1 |
x0-x1 |
y0+kx1 |
x0+x1 |
由KPM•KPN=-
1 |
4 |
y0-kx1 |
x0-x1 |
y0+kx1 |
x0+x1 |
1 |
4 |
y02-k2x12 |
x02-x12 |
1 |
4 |
所以4y02=(4k2+1)x12-x02①,
又P在椭圆上,所以
x02 |
4 |
y02 |
b2 |
所以4b2=(4k2+1)x12+(b2-1)x02,
因为点P为椭圆上任意一点,所以该式恒成立与x0无关,
所以b2-1=0,解得b=1,
所以所求椭圆方程为
x2 |
4 |
故选D.
练习册系列答案
相关题目