题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的长轴长为4,若点P是椭圆C上任意一点,过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点,记直线PM、PN的斜率分别为KPM、KPN,当KPMKPN=-
1
4
时,则椭圆方程为(  )
A.
x2
16
+
y2
4
=1
B.
x2
4
+
y2
2
=1
C.x2+
y2
4
=1
D.
x2
4
+y2=1
由长轴长为4得2a=4,解得a=2,
设P(x0,y0),直线l方程为y=kx,M(x1,kx1),N(-x1,-kx1),
则KPM=
y0-kx1
x0-x1
,KPN=
y0+kx1
x0+x1

KPMKPN=-
1
4
得,
y0-kx1
x0-x1
y0+kx1
x0+x1
=-
1
4
,即
y02-k2x12
x02-x12
=-
1
4

所以4y02=(4k2+1)x12-x02①,
又P在椭圆上,所以
x02
4
+
y02
b2
=1
,即4y02=4b2-b2x02,代入①式得4b2-b2x02=(4k2+1)x12-x02
所以4b2=(4k2+1)x12+(b2-1)x02
因为点P为椭圆上任意一点,所以该式恒成立与x0无关,
所以b2-1=0,解得b=1,
所以所求椭圆方程为
x2
4
+y2=1

故选D.
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