题目内容

已知双曲线C1：x2-
y2
4
=1．
（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，
3
）的双曲线C2的标准方程；
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当
OA
•
OB
=3时，求实数m的值．
（1）∵双曲线C1：x2-
y2
4
=1，
∴焦点坐标为（
5
，0），（-
5
，0）
设双曲线C2的标准方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），
∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，
3
）
∴
a2+b2=5
16
a2
-
3
b2
=1
，解得
a=2
b=1

∴双曲线C2的标准方程为
x2
4
-y2=1
（2）双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=-2x
由
y=2x
y=x+m
，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）
由
y=-2x
y=x+m
，可得x=-
1
3
m，y=
2
3
m，∴B（-
1
3
m，
2
3
m）
∴
OA
•
OB
=-
1
3
m2+
4
3
m2=m2
∵
OA
•
OB
=3
∴m2=3
∴m=±
3
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，短轴长为2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）从定点M（0，2）任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A、B，记线段AB的中点为P，试求点P的轨迹方程．
已知椭圆
x2
2
+
y2
4
=1两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足
PF1
•
PF2
=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证：直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．
若直线y=k（x-2）+1与曲线y=-
1-x2
有两上不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A．[1，
4
3
]		B．[1，
4
3
)		C．(
3
4
，1]		D．(0，
4
3
)
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为KPM、KPN，当KPM•KPN=-
1
4
时，则椭圆方程为（　　）
A．
x2
16
+
y2
4
=1		B．
x2
4
+
y2
2
=1		C．x2+
y2
4
=1		D．
x2
4
+y2=1
已知椭圆：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+
3
和2-
3
，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时
1
a2
+
1
b2
的值．
设P为抛物线y=x2上一点，当P点到直线x-y+2=0的距离最小时，P点的坐标为______．
已知如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使∠OQA为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为
3
2
．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△OAB的面积；
（3）已知抛物线上一点M（4，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断：直线DE是否过定点？说明理由．

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