题目内容

如图,椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,M是椭圆短轴的一个端点,过F1的直线l与椭圆交于A,B两点,△MF1F2的面积为4,△ABF2的周长为8
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点Q的坐标为(1,0),是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆,使得该圆与直线PF1,PF2都相切,如存在,求出P点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
(Ⅰ)由题意知:
1
2
×2c×b=4即bc=4

4a=8
2
即a=2
2

∵a2=b2+c2
解得b=c=2
∴椭圆的方程为
x2
8
+
y2
4
=1

(Ⅱ)假设存在椭圆上的一点P(x0,y0),使得直线PF1,PF2与以Q为圆心的圆相切,
则Q到直线PF1,PF2的距离相等,
∵F1(-2,0),F2(2,0)
∴PF2:(x0-2)y-y0x+2y0=0; PF1:(x0+2)y-y0x-2y0=0
d1=
|y0|
(x0-2)2+y02
=
|3y0|
(x0+2)2+y02
=d2

化简整理得:8x02-40x0+32+8y02=0
∵点在椭圆上,
∴x02+2y02=8
解得:x0=2或x0=8(舍)
x0=2时,y0
2
,r=1,
∴椭圆上存在点P,其坐标为(2,
2
)
(2,-
2
)

使得直线PF1,PF2与以Q为圆心的圆(x-1)2+y2=1相切
练习册系列答案
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