题目内容
已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+
=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-
的直线l与C交于A、B两点,点P满足
+
+
=
.
(Ⅰ)证明:点P在C上;
(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.
y2 |
2 |
2 |
OA |
OB |
OP |
0 |
(Ⅰ)证明:点P在C上;
(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.
证明:(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2)
椭圆C:x2+
=1 ①,则直线AB的方程为:y=-
x+1 ②
联立方程可得4x2-2
x-1=0,
则x1+x2=
,x1×x2=-
则y1+y2=-
(x1+x2)+2=1
设P(p1,p2),
则有:
=(x1,y1),
=(x2,y2),
=(p1,p2);
∴
+
=(x1+x2,y1+y2)=(
,1);
=(p1,p2)=-(
+
)=(-
,-1)
∴p的坐标为(-
,-1)代入①方程成立,所以点P在C上.
(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.
设线段AB的中点坐标为(
,
),即(
,
),
则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为:y-
=
(x-
),即y=
x+
;③
∵P关于点O的对称点为Q,故0(0.0)为线段PQ的中点,
则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为:y=-
x④;
③④联立方程组,解之得:x=-
,y=
③④的交点就是圆心O1(-
,
),
r2=|O1P|2=(-
-(-
))2+(-1-
)2=
故过P Q两点圆的方程为:(x+
)2+(y-
)2=
…⑤,
把y=-
x+1…②代入⑤,
有x1+x2=
,y1+y2=1
∴A,B也是在圆⑤上的.
∴A、P、B、Q四点在同一圆上.
椭圆C:x2+
y2 |
2 |
2 |
联立方程可得4x2-2
2 |
则x1+x2=
| ||
2 |
1 |
4 |
则y1+y2=-
2 |
设P(p1,p2),
则有:
0A |
0B |
0P |
∴
0A |
0B |
| ||
2 |
0P |
0A |
0B |
| ||
2 |
∴p的坐标为(-
| ||
2 |
(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.
设线段AB的中点坐标为(
x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
| ||
4 |
1 |
2 |
则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为:y-
1 |
2 |
| ||
2 |
| ||
4 |
| ||
2 |
1 |
4 |
∵P关于点O的对称点为Q,故0(0.0)为线段PQ的中点,
则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为:y=-
| ||
2 |
③④联立方程组,解之得:x=-
| ||
8 |
1 |
8 |
③④的交点就是圆心O1(-
| ||
8 |
1 |
8 |
r2=|O1P|2=(-
| ||
2 |
| ||
8 |
1 |
8 |
3
| ||
8 |
故过P Q两点圆的方程为:(x+
| ||
8 |
1 |
8 |
3
| ||
8 |
把y=-
2 |
有x1+x2=
| ||
2 |
∴A,B也是在圆⑤上的.
∴A、P、B、Q四点在同一圆上.
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