Question

【题目】设为非空实数集（至少有两个元素），若对任意，都有，且，则称为封闭集，则下列四个判断：

①集合为封闭集，则为无限集； ②集合为封闭集；

③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若为封闭集，则一定有；，

其中正确的命题个数有（ ）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

Answer 1

【答案】B

【解析】

①：运用反证法进行判断即可；

②：运用所给的定义进行判断即可；

③：结合②，再举个封闭集，进行判断即可；

④：当且，根据进行判断即可；

①：假设封闭集合中有个元素，，设这个个元素从小到大排列为：

，显然这个元素必有正数，如果没有正数，那么两个数的积就是正数或零，显然这是不可能的，故一定有，当时，，显然，这与集合是封闭集矛盾，故至少有两个元素封闭集一定是无限集，因此本命题是真命题；

②：设，所以有，

；

；

，故集合为封闭集，因此本命题是真命题；

③：由②可知：为封闭集，同理也是封闭集，

当时，，所以不是封闭集，因此本命题是假命题；

④：为封闭集，当且时，，因此本命题是真命题.

故选：B