题目内容
【题目】已知函数f(x)=2lnx-ax2,若α,β都属于区间[1,4],且β-α=1,f(α)=f(β),则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
先求导,,利用函数的单调性,结合f(α)=f(β),确定a>0;再利用β﹣α=1,即 2lnα﹣2lnβ+a(α+β)=0,可得2lnα﹣2ln(α+1)+a(2α+1)=0,α∈[1,3],设h(x)=2lnx﹣2ln(x+1)+a(2x+1),x∈[1,3],确定h(x)在[1,3]上递增,h(x)在[1,3]有零点,即可求实数a的取值范围.
解:f′(x)= (x>0)
当a≤0 时,f′(x)>0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上递增,则f(x)不可能有两个相等的函数值.故a>0;
由题设f(α)=f(β) 则 =
考虑到β﹣α=1,即 2lnα﹣2lnβ+a(α+β)=0
∴2lnα﹣2ln(α+1)+α(2 +1)=0,
∈[1,3]
设h(x)=2lnx﹣2ln(x+1)+α(2x+1)x∈[1,3],a>0,
则h'(x)= 在
上恒成立,
∴h(x)在[1,3]上递增,h(x)在[1,3]有零点,则
,∴
,∴
故实数a的取值范围是.
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