Question

【题目】2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

Answer 1

【答案】（1）；

（2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.

【解析】

（1）根据题意时，，求出，进一步求出销售价格，由利润销售额固定成本再投入成本促销费，即可求解.

（2）由（1），利用基本不等式即可求解.

（1）由题意知，当时，（万件），

则，解得，.

所以每件产品的销售价格为（元），

2018年的利润.

（2）当时，，

，当且仅当时等号成立.

，

当且仅当，即万元时，（万元）.

故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.