Question

【题目】知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函数f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切实数x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明对一切x∈（0，+∞），lnx＞ 恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+1，

当x∈（0， ），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（ ，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，

①0＜t＜t+2＜ ，t无解；

②0＜t＜ ＜t+2，即0＜t＜ 时，f（x）min=f（ ）=﹣ ；

③ ≤t＜t+2，即t≥ 时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；

则f（x）min= ；

（2）解：2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a≤2lnx+x+ ，

设h（x）=2lnx+x+ （x＞0），则h′（x）= ，x∈（0，1），

当h′（x）＜0，h（x）单调递增，x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递减，

则h（x）min=h（1）=4，

∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

∴a≤h（x）min=4；

（3）证明：问题等价于证明xlnx＞ ﹣ （x∈（0，+∞）），

由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣ ，当且仅当x= 时取到，

设m（x）= ﹣ （x∈（0，+∞）），

则m′（x）= ，易得m（x）max=m（1）=﹣ ，当且仅当x=1时取到，

则对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞ ﹣ 成立．

【解析】（1）求出f（x）的导函数，利用导函数的性质得到导函数小于0时，函数单调递减；导函数大于0时，函数单调递增，进而确定出f（x）的最小值；（2）把f（x）与g（x）解析式代入已知不等式，整理后设h（x）=2lnx+x+ （x＞0），求出h（x）的导函数，根据导函数的正负判断其增减性，进而求出h（x）的最小值，即可确定出a的范围；（3）所证不等式两边乘以x，左边为f（x），右边设为m（x）= ﹣ （x∈（0，+∞）），求出左边的最小值，以及右边的最大值，比较即可得证．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．