Question

【题目】已知直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的参数方程为 （θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（2 ， ）． （Ⅰ）求直线l以及曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求△PAB的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为 （t为参数），

消去参数t，得到直线l的普通方程为y= ，

∴ ，∴ ，

∴直线l的极坐标方程为 （ρ∈R），

∵曲线C的参数方程为 （θ为参数），

∴曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+（y﹣2 ）2=4，

则（ρcosθ﹣1）2+（ ）2=4，

则曲线C的极坐标方程为 ．

（Ⅱ）由 ，

得到ρ2﹣7ρ+9=0，设其两根为ρ1，ρ2，

则ρ1+ρ2=7，ρ1ρ2=9，

∴|AB|=|ρ2﹣ρ1|= = ，

∵点P的极坐标为（ ），∴|OP|=2 ， ，

∴△PAB的面积：S△PAB=|S△POB﹣S△POA|= = ．

【解析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，得到直线l的普通方程为y= ，由此能求出直线l的极坐标方程；曲线C的参数方程消去参数θ，得曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．（Ⅱ）由 ，得到ρ2﹣7ρ+9=0，由韦达定理、弦长公式求出|AB|，△PAB的面积S△PAB=|S△POB﹣S△POA|，由此能求出结果．