题目内容
【题目】设函数f(x)=2lnx+ . (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)如果对所有的x≥1,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= , 当0<x<
时,f′(x)<0,
当x> 时,f′(x)>0,
所以函数f(x)在(0, )上单调递减,在(
,+∞)单调递增.
(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≤axa≥ +
,
令h(x)= +
,(x≥1),
则h′(x)= =
,
令m(x)=x﹣xlnx﹣1,(x≥1),
则m′(x)=﹣lnx,
当x≥1时,m′(x)≤0,
于是m(x)在[1,+∞)上为减函数,
从而m(x)≤m(1)=0,因此h′(x)≤0,
于是h(x)在[1,+∞)上为减函数,
所以当x=1时h(x)有最大值h(1)=1,
故a≥1,即a的取值范围是[1,+∞).
【解析】(Ⅰ)先求导,利用导数和函数单调性的关系即可求出;(Ⅱ)分离参数,a≥ +
,构造函数h(x)=
+
,求导,再构造函数m(x)=x﹣xlnx﹣1,利用导数求出函数的最大值,问题得以解决.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较),还要掌握函数单调性的性质(函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集)的相关知识才是答题的关键.
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