题目内容
【题目】在淘宝网上,某店铺专卖孝感某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,1<x≤5)满足:当1<x≤3时,y=a(x﹣3)2+ ,(a,b为常数);当3<x≤5时,y=﹣70x+490.已知当销售价格为2元/千克时,每日可售出该特产600千克;当销售价格为3元/千克时,每日可售出150千克.
(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该特产的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x精确到0.1元/千克).
【答案】
(1)解:由题意:
x=2时y=600,∴a+b=600,
又∵x=3时y=150,∴b=300.
∴
(2)解:由题意:
,
当1<x≤3时,
f(x)=300(x﹣3)2(x﹣1)+300=300(x3﹣7x2+15x﹣8),
f'(x)=300(3x2﹣14x+15)=(3x﹣5)(x﹣3),
∴ 时有最大值
.
当3<x≤5时,
f(x)=(﹣70x+490)(x﹣1),
∴x=4时有最大值630.
∵630< ,
∴当 时f(x)有最大值
,
即当销售价格为1.7元的值,使店铺所获利润最大
【解析】(1)由题意,代入数据求出a,b;从而求出函数的解析式;(2)由于是分段函数,讨论其各部分的最大值,从而求函数的最大值点.
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