题目内容

【题目】已知函数f(x)=|xa||x5|.

1)当a=2时,求证:﹣3≤f(x)≤3

2)若关于x的不等式f(x)≤x28x+20R恒成立,求实数a的取值范围.

【答案】1)证明见解析.(2

【解析】

1代入,利用绝对值不等式的性质可得,进而得证;

2)分两种情况讨论,每种情况下都把函数f(x)化为分段函数的形式,再根据题意转化为关于的不等式,每种情况解出后最后取并集即可.

1)证明:当a=2时,f(x)=|x2|﹣|x5|,

∴||x2|﹣|x5|||x2﹣(x5)|=3

∴﹣3|x2|﹣|x5|3,即﹣3f(x)3

2)解:f(x)=|xa|﹣|x5|,

①当a5时,,则f(x)max=a5,且y=x28x+20=x28x+16+4=(x4)2+44

要使f(x) x28x+20R恒成立,则只需4a5,则a9,此时5a9

②当a<5时,

需要恒成立,

综合①②可知,0a9,即实数a的取值范围为[09].

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