Question

【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.

（1）当a=2时，求证：﹣3≤f(x)≤3；

（2）若关于x的不等式f(x)≤x2﹣8x+20在R恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

（1）代入，利用绝对值不等式的性质可得，进而得证；

（2）分及两种情况讨论，每种情况下都把函数f(x)化为分段函数的形式，再根据题意转化为关于的不等式，每种情况解出后最后取并集即可.

（1）证明：当a=2时，f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|，

∴||x﹣2|﹣|x﹣5|||x﹣2﹣(x﹣5)|=3，

∴﹣3|x﹣2|﹣|x﹣5|3，即﹣3f(x)3；

（2）解：f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|，

①当a5时，，则f(x)max=a﹣5，且y=x2﹣8x+20=x2﹣8x+16+4=(x﹣4)2+44，

要使f(x) x2﹣8x+20在R恒成立，则只需4a﹣5，则a9，此时5a9；

②当a<5时，，

需要恒成立，

∴，

∴，

综合①②可知，0a9，即实数a的取值范围为[0，9].