题目内容
【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.
（1）当a=2时，求证：﹣3≤f(x)≤3；
（2）若关于x的不等式f(x)≤x2﹣8x+20在R恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析.（2）
【解析】
（1）
代入，利用绝对值不等式的性质可得
，进而得证；
（2）分
及
两种情况讨论，每种情况下都把函数f(x)化为分段函数的形式，再根据题意转化为关于
的不等式，每种情况解出后最后取并集即可.
（1）证明：当a=2时，f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|，
∴||x﹣2|﹣|x﹣5||
|x﹣2﹣(x﹣5)|=3，
∴﹣3|x﹣2|﹣|x﹣5|3，即﹣3f(x)3；
（2）解：f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|，
①当a
5时，
，则f(x)max=a﹣5，且y=x2﹣8x+20=x2﹣8x+16+4=(x﹣4)2+44，
要使f(x) x2﹣8x+20在R恒成立，则只需4a﹣5，则a9，此时5a9；
②当a<5时，
，
需要
恒成立，
∴
，
∴
，
综合①②可知，0a9，即实数a的取值范围为[0，9].
【题目】甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：
）均服从正态分布
，在出厂检测处，直接将质量在
之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.
（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；
（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为
，则“质量误差”
.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是
，
、
（正品零件中没有“质量误差”大于
的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：
质量误差 |
|
|
|
|
|
|
|
甲厂频数 | 10 | 30 | 30 | 5 | 10 | 5 | 10 |
乙厂频数 | 25 | 30 | 25 | 5 | 10 | 5 | 0 |
（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为
（元），求的分布列及数学期望
；
（ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.
附：若随机变量
.则
；
，
，
.
【题目】2019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者.为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据.
（1）请将列联表填写完整：
有接触史 | 无接触史 | 总计 | |
有武汉旅行史 | 27 | ||
无武汉旅行史 | 18 | ||
总计 | 27 | 54 |
（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
