Question

【题目】甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：）均服从正态分布，在出厂检测处，直接将质量在之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.

（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；

（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为，则“质量误差”.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是，、（正品零件中没有“质量误差”大于的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：

质量误差
甲厂频数	10	30	30	5	10	5	10
乙厂频数	25	30	25	5	10	5	0

（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为（元），求的分布列及数学期望；

（ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.

附：若随机变量.则；，，.

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）

【解析】

（1）求得没有废品的概率之后，利用对立事件概率公式可求得结果；

（2）（ⅰ）首先确定“优等”、“一级”、“合格”的概率，接着确定所有可能的取值，求解出每个取值对应的概率后可得分布列，由数学期望计算公式计算可得期望；

（ⅱ）利用构造不等式可确定可能的取值，利用二项分布概率公式可求得结果.

（1）由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在之内的概率为，

则这件质量全都在之内（即没有废品）的概率为；

则这件零件中至少有件是废品的概率为.

（2）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂

生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为；

则的可能取值为元，有：

；；

；；

；，

得到的分布列如下：

	150	140	130	125	115	100

则数学期望为：

（元）.

（ⅱ）设乙厂生产的件该零件规格的正品零件中有件“优等”品，则有件“一级”品，

由已知有，解得：，则取或.

故所求的概率为：.