Question

20．设A，B是平面内的两个定点，且|AB|=2c＞0，该平面内动点P满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-k²（k＞0），请讨论动点P的轨迹．

Answer 1

分析 利用平面的数量积运算即可得出轨迹方程．

解答 解：设A（-c，0），B（c，0）（c＞0），P（x，y）．
则$\overrightarrow{PA}$=（-c-x，-y），$\overrightarrow{PB}$=（c-x，-y）．
∵满足：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-k²（k＞0），
∴（-c-x，-y）•（c-x，-y）=-k²，
化为x²-c²+y²=-k²，
即x²+y²=c²-k²
c=k时，动点P的轨迹是原点（0，0）；c＞k时，动点P的轨迹是原点为圆心，以$\sqrt{{c}^{2}-{k}^{2}}$为半径的圆．

点评 本题考查了向量数量积运算、圆的标准方程，属于基础题．