Question

9．若a²+ab-b²=0，且a、b均为正数，化简：$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{（b-a）（b-2a）}$+$\frac{2{a}^{2}-ab}{4{a}^{2}-4ab+{b}^{2}}$•$\frac{2a+b}{2a-b}$．

Answer 1

分析 化简可得$（\frac{a}{b}）^{2}$+$\frac{a}{b}$-1=0，从而可得t=$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；化简$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{（b-a）（b-2a）}$+$\frac{2{a}^{2}-ab}{4{a}^{2}-4ab+{b}^{2}}$•$\frac{2a+b}{2a-b}$=$\frac{4{t}^{2}+2t-1}{（2t-1）^{2}}$，从而解得．

解答 解：∵a²+ab-b²=0，
∴$（\frac{a}{b}）^{2}$+$\frac{a}{b}$-1=0，
∴t=$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{（b-a）（b-2a）}$+$\frac{2{a}^{2}-ab}{4{a}^{2}-4ab+{b}^{2}}$•$\frac{2a+b}{2a-b}$
=$\frac{（a-b）（a+b）}{（b-a）（b-2a）}$+$\frac{a（2a-b）}{（2a-b）^{2}}$•$\frac{2a+b}{2a-b}$
=$\frac{a+b}{2a-b}$+$\frac{a（2a+b）}{（2a-b）^{2}}$
=$\frac{（a+b）（2a-b）}{（2a-b）^{2}}$+$\frac{a（2a+b）}{（2a-b）^{2}}$
=$\frac{4{a}^{2}+2ab-{b}^{2}}{（2a-b）^{2}}$=$\frac{4{t}^{2}+2t-1}{（2t-1）^{2}}$
=$\frac{4-\sqrt{5}}{9-4\sqrt{5}}$=$\frac{（4-\sqrt{5}）（9+4\sqrt{5}）}{81-16×5}$
=36-20-9$\sqrt{5}$+16$\sqrt{5}$
=16+7$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了化简运算的应用及换元法的应用，属于中档题．