Question

4．已知二次函数f（x）=x²-2ax+2．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[2，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函数解析式，求出对称轴方程，由此求得函数f（x）的单调区间；
（2）由二次函数的对称轴对函数定义域分类，然后利用函数单调性求得函数的最值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-2x+2，
函数的对称轴方程为x=1，又开口向上，
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，1），单调增区间为（1，+∞）；
（2）函数f（x）=x²-2ax+2的对称轴方程为x=a，
当a＜2时，函数f（x）在[2，4]上为增函数，f（x）_min=f（2）=6-4a，f（x）_max=f（4）=18-8a；
当a＞4时，函数f（x）在[2，4]上为减函数，f（x）_min=f（4）=18-8a，f（x）_max=f（2）=6-4a；
当2≤a≤3时，函数f（x）在[2，a]上为减函数，在[a，4]上为增函数，f（x）_min=f（a）=a²-2a+2，f（x）_max=f（4）=18-8a；
当3＜a≤4时，函数f（x）在[2，4]上为增函数，f（x）_min=f（a）=a²-2a+2，f（x）_max=f（2）=6-4a．

点评 本题考查二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．