Question

13．设函数f（x）=cos²x-asinx+2．
（1）若a=-1，求函数f（x）的值域；
（2）若对于任意的实数x，都有f（x）≤5，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）把a=-1代入函数解析式，然后利用配方法求得函数值域；
（2）把对于任意的实数x，都有f（x）≤5，转化为-sin²x-asinx-2≤0对于任意的实数x都成立，令t=sinx换元，可得t²+at+2≥0对任意t∈[-1，1]都成立然后结合三个二次列不等式组求得实数a的范围．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=cos²x+sinx+2=-sin²x+sinx+3=$-（sinx-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{13}{4}$．
∵-1≤sinx≤1，∴f（x）∈[1，$\frac{13}{4}$]；
（2）对于任意的实数x，都有f（x）≤5，则
cos²x-asinx+2≤5对于任意的实数x都成立，
即-sin²x-asinx-2≤0对于任意的实数x都成立，
令t=sinx（-1≤t≤1），
则t²+at+2≥0对任意t∈[-1，1]都成立．
构造函数g（t）=t²+at+2．
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤-1}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≥1}\\{g（1）≥0}\end{array}\right.$②或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜\frac{a}{2}＜1}\\{△={a}^{2}-8≤0}\end{array}\right.$③．
解①得：2≤a≤3；
解②得：-3≤a≤-2；
解③得：-2＜a＜2．
综上，实数a的范围是[-3，3]．

点评 本题考查三角函数的最值的求法，考查了利用换元法求函数的最值，训练了利用“三个二次”求解与二次函数有关的恒成立问题，属中档题．