Question

14．已知⊙O：x²+y²=1和点M（1，4）．
（1）过点M向⊙O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x-8截得的弦长为8的⊙M的方程；
（3）设P为（2）中⊙M上任意一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得$\frac{PQ}{PR}$为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）M（1，4）在圆外，切线有两条；
（2）求出点M（1，4）到直线2x-y-8=0的距离，利用弦长，可求圆M的方程；
（3）假设存在定点R，使得$\frac{PQ}{PR}$为定值，设R（a，b），P（x，y），$\frac{P{Q}^{2}}{P{R}^{2}}$=λ，可得（2-2λ+2aλ）x+（8-8λ+2bλ）y+（18-19λ-a²λ-b²λ）=0（*），若使（*）对任意x，y恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{2-2λ+2aλ=0}\\{8-8λ+2bλ=0}\\{18-19λ-{a}^{2}λ-{b}^{2}λ=0}\end{array}\right.$，即可得出结论．

解答 解：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：x=1，为圆O的切线； …（1分）
当切线l的斜率存在时，设直线方程为：y-4=k（x-1），即kx-y-k+4=0，
∴圆心O到切线的距离为：$\frac{|-k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，解得：k=$\frac{15}{8}$
∴直线方程为：15x-8y+17=0．
综上，切线的方程为：x=1或15x-8y+17=0…（4分）
（2）点M（1，4）到直线2x-y-8=0的距离为：d=$\frac{|2-4-8|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
又∵圆被直线y=2x-8截得的弦长为8，
∴r=$\sqrt{20+16}$=6…（7分）
∴圆M的方程为：（x-1）²+（y-4）²=36…（8分）
（3）假设存在定点R，使得$\frac{PQ}{PR}$为定值，设R（a，b），P（x，y），$\frac{P{Q}^{2}}{P{R}^{2}}$=λ
∵点P在圆M上，∴（x-1）²+（y-4）²=36，则x²+y²=2x+8y+19…（10分）
∵PQ为圆O的切线，∴OQ⊥PQ，
∴PQ²=PO²-1=x²+y²-1，PR²=（x-a）²+（y-b）²，
∴x²+y²-1=λ[（x-a）²+（y-b）²]，即2x+8y+19-1=λ（2x+8y+19-2ax-2by+a²+b²）
整理得：（2-2λ+2aλ）x+（8-8λ+2bλ）y+（18-19λ-a²λ-b²λ）=0（*）
若使（*）对任意x，y恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{2-2λ+2aλ=0}\\{8-8λ+2bλ=0}\\{18-19λ-{a}^{2}λ-{b}^{2}λ=0}\end{array}\right.$…（13分）
∴a=$\frac{λ-1}{λ}$，b=$\frac{4λ-4}{λ}$，代入得：18-19λ-$（\frac{λ-1}{λ}）^{2}λ$-$（\frac{4λ-4}{λ}）^{2}λ$=0
整理得：36λ²-52λ+17=0，解得：$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{17}{18}$
∴$λ=\frac{1}{2}，a=-1，b=-4$或$λ=\frac{17}{18}$，a=-$\frac{1}{17}$，b=-$\frac{4}{17}$
∴存在定点R（-1，-4），此时$\frac{PQ}{PR}$为定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$或定点（-$\frac{1}{17}$，-$\frac{4}{17}$），此时$\frac{PQ}{PR}$为定值$\frac{\sqrt{34}}{6}$．…（16分）

点评 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道综合题．