Question

9．已知函数f（x）=（x-1）³+m．
（1）若f（1）=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≥x³-1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；
（3）设f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若函数f″（x）的零点为x₀，则点（x₀，f（x₀））恰好就是该函数f（x）的对称中心，若m=1，试求f（$\frac{1}{1008}$）+f（$\frac{2}{1008}$）+…+f（$\frac{2014}{1008}$）+f（$\frac{2015}{1008}$）的值．

Answer 1

分析 （1）易知f（x）=（x-1）³+1，求导f′（x）=3（x-1）²≥0，从而判断；
（2）由题意得（x-1）³+m≥x³-1，即m≥3x²-3x，从而解得．
（3）易知函数f（x）的对称中心为（1，1）；从而可得$\frac{1}{1008}$+$\frac{2015}{1008}$=$\frac{2}{1008}$+$\frac{2014}{1008}$=…=2，从而解得．

解答 解：（1）f（1）=（1-1）³+m=m=1，
故f（x）=（x-1）³+1，
f′（x）=3（x-1）²≥0，
故函数f（x）在其定义域R上单调递增；
（2）∵f（x）≥x³-1，∴（x-1）³+m≥x³-1，
即m≥3x²-3x，
∵y=3x²-3x在[1，2]上是增函数，
∴y_min=3-3=0，
∴若关于x的不等式f（x）≥x³-1在区间[1，2]上有解，
则m≥0．
（3）∵f（x）=（x-1）³+1，f′（x）=3（x-1）²，f″（x）=6（x-1）；
∴函数f（x）的对称中心为（1，1）；
∵$\frac{1}{1008}$+$\frac{2015}{1008}$=$\frac{2}{1008}$+$\frac{2014}{1008}$=…=2，
∴f（$\frac{1}{1008}$）+f（$\frac{2015}{1008}$）=f（$\frac{2}{1008}$）+f（$\frac{2014}{1008}$）=…=2，且f（$\frac{1008}{1008}$）=f（1）=1，
∴f（$\frac{1}{1008}$）+f（$\frac{2}{1008}$）+…+f（$\frac{2014}{1008}$）+f（$\frac{2015}{1008}$）=2×1008-1=2015．

点评 本题考查了导数的综合应用及存在性问题．