题目内容
【题目】已知椭圆的短轴长为2,离心率为
,
,
分别是椭圆的右顶点和下顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知是椭圆
内一点,直线
与
的斜率之积为
,直线
分别交椭圆于
两点,记
,
的面积分别为
,
.
①若两点关于
轴对称,求直线
的斜率;
②证明:.
【答案】(1);(2)①
;②详见解析.
【解析】
(1)根据短轴长得,再根据离心率
以及
的关系式可解得
,从而可求得椭圆
的标准方程;
(2)①设出的斜率
,写出
的方程与椭圆联立解出
的坐标,再根据
的斜率关系得
的斜率和方程与椭圆联立解出
的坐标,根据
,
关于
轴对称,列式可求得
;
②用的方程联立解得
的坐标,通过两点间的距离算得
,只要证明
,就可证明
.
(1)椭圆的短轴长为
,离心率为
,
所以,
,
解得.
所以椭圆方程为.
(2)
①设直线的斜率为
,则直线
的方程为
,
联立,消去
并化简得
,
解得,所以
.
因为直线的斜率乘积为
,所以直线
的方程为
,
联立,消去
并化简得
,
解得,所以
.
因为关于
轴对称,所以
,
即,解得
.
当时,由
,解得
,在椭圆
外,不满足题意.
所以直线的斜率为
.
②由①得,
,
,
由,解得
.
即.
所以,
,
.
同理利用两点间的距离公式求得,
,
所以.
所以,
因为,所以
.
即.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:
每分钟跳绳个数 | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.
(1)现从样本的100名学生跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(用最简分数表示)
(2)若该校高二年级共有2000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布
,其中
,
为样本平均数的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:
(i)估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);
(ii)若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望与方差.
附:若随机变量服从正态分布
,则
,
,
.