题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
平面
,
,点
分别为
的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面
;
(Ⅲ)求平面与平面
所成二面角
(锐角)的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)以为原点,
所在直线分别为
轴、
轴、
轴,再证明
即可.
(Ⅱ)同(Ⅰ),证明与平面
的法向量
垂直即可.
(Ⅲ)分别计算平面与平面
的法向量再求解二面角的夹角余弦值即可.
解:(Ⅰ)因为平面
,所以
,
,且底面
为正方形,
所以.以
为原点,
所在直线分别为
轴、
轴、
轴,建立如图所示空间直角坐标系
,设
,则
,
,
,
,
,
.
,
,
.
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
,
.
且,
所以平面
.
所以是平面
的法向量.
因为,
且平面
,
所以∥平面
.
(Ⅲ)设平面的法向量为
,则
即
令,则
,
.
于是.
平面的法向量为
.
设平面与平面
所成二面角(锐角)
为
,
则.
所以平面与平面
所成二面
角(锐角)的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目