题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,曲线是由两个定点
和点
的距离之积等于
的所有点组成的,对于曲线
,有下列四个结论:①曲线
是轴对称图形;②曲线
上所有的点都在单位圆
内;③曲线
是中心对称图形;④曲线
上所有点的纵坐标
.其中,所有正确结论的序号是______.
【答案】①③
【解析】
由题意曲线是平面内与两个定点
和
的距离的积等于常数2,利用直接法,设动点坐标为
,及可得到动点的轨迹方程,然后由方程特点即可加以判断即可.
由题意设动点坐标为,
利用题意及两点间的距离公式的得:,
方程中的被
代换,
被
代换,方程不变,故关于
轴对称和
轴对称,同时关于原点对称,故曲线
是轴对称图形和中心对称图形,故①③正确;
可得,
,即
,解得
,
∴曲线上点的横坐标的范围为
,故②错误;
对于④令可得,
,
曲线上点的纵坐标的范围为
,故④错误;
故答案为:①③
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