Question

14．已知函数y=mx²-2x+1．
（1）如果m=1，且x∈[-2，1]，求函数y的取值范围；
（2）解关于m的方程f（m）=0；
（3）当x∈[1，2]时，y≥0恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）求出对称轴，判断区间[-2，1]为减区间，即可得到最值，进而得到所求范围；
（2）运用因式分解的方法，即可得到方程的解；
（3）运用参数分离，再由配方求得右边的最值，进而得到m的范围．

解答 解：（1）m=1时，y=x²-2x+1=（x-1）²，
区间[-2，1]在对称轴x=1的左边，为减区间，
即有最小值为（1-1）²=0，最大值为（-2-1）²=9，
则y的取值范围是[0，9]；
（2）f（m）=m•m²-2m+1=0，
即有（m-1）（m²+m-1）=0，
解得m=1或m=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$；
（3）当x∈[1，2]时，y≥0恒成立，
即为m≥$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$的最大值，
由g（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-（$\frac{1}{x}$-1）²+1，
$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，为递增区间，
即有g（1）取得最大值，且为1，
则m≥1．
即有实数m的范围是[1，+∞）．

点评 本题主要考查二次函数的值域和最值的求法，注意对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．