题目内容
4.如图,有-直角墙角,两边的长度足够长,在P处有-棵树与两墙的距离分别是a米(0<a<12),4米,不考虑树的粗细,现在想用16米长的篱笆,借助墙角围成-个矩形的花围ABCD,并要求将这棵树围在花圃内或在花圃的边界上.设BC=x米,此矩形花围的面积为y平方米.(1)写出y关于x的函数关系,并指出这个函数的定义域;
(2)当BC为何值时,花圃面积最大?
分析 (1)要使树被圈进去,则ABCD中BC≥a,CD≥4,由此可确定函数的变量的范围.设长BC=x米,宽CD=(16-x)米,所以面积y=f(x)=x(16-x)=-x2+16x;
(2)由(1)得,y=f(x)=-x2+16x=-(x-8)2+64,x∈[a,12],由于对称轴x=8,根据0<a<12,故要进行分类讨论:即8≤a<12;4≤a<8;0<a<4,从而可求y=f(x)的最大值.
解答 解:(1)要使树被圈进去,则ABCD中BC≥a,CD≥4,
因为篱笆长为16米,所以当长BC=x米时,宽CD=(16-x)米.
由于BC≥a,CD≥4,故a≤x≤12,
所以面积y=f(x)=x(16-x)=-x2+16x,其定义域为x∈[a,12];
(2)由(1)得,y=f(x)=-x2+16x=-(x-8)2+64,x∈[a,12]
对称轴x=8,又因为0<a<12,
所以,当8≤a<12时,x=a时,ymax=-a2+16a;
当4≤a<8时,x=8时,ymax=64;
当0<a<4时,x=8时,ymax=64.
点评 本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查二次函数最值的求解,解题的关键是读懂题意,正确分类.
练习册系列答案
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A. | $\sqrt{3}$:$\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{2}$:1 | C. | $\sqrt{3}$:1 | D. | 2:1 |
16.设函数f′(x)是函数f(x)的导函数,x∈R时,f′(x)+f(x)>0,则x1<x2,结论正确的是( )
A. | e${\;}^{{x}_{2}}$f(x1)>e${\;}^{{x}_{1}}$f(x2) | B. | e${\;}^{{x}_{2}}$f(x1)<e${\;}^{{x}_{1}}$f(x2) | ||
C. | e${\;}^{{x}_{1}}$f(x1)>e${\;}^{{x}_{2}}$f(x2) | D. | e${\;}^{{x}_{1}}$f(x1)<e${\;}^{{x}_{2}}$f(x2) |