Question

2．函数f（x）=e^x+e^-x，g（x）=f（2x）+mf（x），对任意x∈R，g（x）≥0，则m的取值范围是（　　）

• A． [-4，+∞）
• B． [-1，+∞）
• C． [0，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得e^2x+e^-2x+m（e^x+e^-x）≥0，可令t=e^x+e^-x（t≥2），由参数分离可得-m≤$\frac{{t}^{2}-2}{t}$，运用函数的单调性求得右边的最小值，即可得到m的范围．

解答 解：g（x）≥0即为f（2x）+mf（x）≥0，
即有e^2x+e^-2x+m（e^x+e^-x）≥0，
由x∈R，e^x＞0，e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，
可令t=e^x+e^-x（t≥2），
即有e^2x+e^-2x=（e^x+e^-x）²-2=t²-2，
则有-m≤$\frac{{t}^{2}-2}{t}$，
由$\frac{{t}^{2}-2}{t}$=t-$\frac{2}{t}$在[2，+∞）递增，
即有t=2，取得最小值，且为2-1=1，
则有-m≤1，
解得m≥-1．
故选：B．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．