题目内容

18.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,1),B(m,1),C(4,5),
(1)若m=5,求cos2A;
(2)若∠ABC为直角,求实数m的取值.

分析 (1)若m=5,求出三角形的边长,利用余弦定理求出cosA,即可求cos2A;
(2)若∠ABC为直角,$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=0,建立方程关系即可得到结论.

解答 解:(1)若m=5,则B(5,1),
则|AB|=5-1=4,|AC|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$,|BC|=$\sqrt{1+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$,
则cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}-17}{2×4×5}$=$\frac{3}{5}$,
则cos2A=2cos2A-1=2×($\frac{3}{5}$)2-1=-$\frac{7}{25}$;
(2)若∠ABC为直角,则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=0,
即(m-1,0)•(4-m,4)=0,
即(m-1)•(4-m)=0,
解得m=1(舍)或m=4.

点评 本题主要考查解三角形的应用,利用余弦定理求出cosA,以及三角函数的倍角公式是解决本题的关键.

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