题目内容
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S13=104，公差d∈N*．（1）若a2，a5，a11成等比数列，求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在数列{an}，使得对任意的m∈N*，am+am+1仍然是数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的公差d；若不存在，说明理由；
（3）设数列{bn}的每一列都是正整数，且b1=5，b2=7＜b3，若数列{abn}是等比数列，求数列{bn}的通项公式．
分析 （1）根据等差数列的前n项和公式、性质求出a7，由等比中项的性质和等差数列的通项公式列出方程，结合题意求出d和a1，再求出an；
（2）先假设存在数列{an}满足条件，由a7和等差数列的通项公式求出an、am+am+1，根据题意列出方程求出d的值；
（3）根据题意分别求出ab1和ab2的式子，由等比数列的通项公式求出公比q和abn，ab3，根据条件求出d的值以及bn．
解答 解：（1）由条件得S13=$\frac{13（{a}_{1}+{a}_{13}）}{2}$=13a7=104，解得a7=8，
∵a2，a5，a11成等比数列，∴$a_5^2={a_2}{a_{11}}$，；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+6d=8}\\{（{a}_{1}+4d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+10d）}\end{array}\right.$，且公差d∈N*，
解得d=1，a1=2，∴an=2+n-1=n+1；
（2）假设存在数列{an}满足条件，
∵a7=8，∴an=8+（n-7）d，am+am+1=16+（2m-13）d，
令am+am+1=an，则（n+6-2m）d=8，∴d为8的正约数：1，2，4，8，
经检验，d=1符合题意，综上满足条件的d值为1；
（3）∵a7=8，b1=5，b2=7，∴${a_{b_1}}={a_5}=8-2d，{a_{b_2}}={a_7}=8$，
∴等比数列的公比$q=\frac{8}{8-2d}=\frac{4}{4-d}$，${a_{b_n}}=（8-2d）{（\frac{4}{4-d}）^{n-1}}$，
又${a_{b_n}}=8+（{b_n}-7）d$，
∴$8+（{b_n}-7）d=（8-2d）{（\frac{4}{4-d}）^{n-1}}$，①
∴$8+（{b_3}-7）d=（8-2d）{（\frac{4}{4-d}）^2}$，则$8+（{b_3}-7）d=\frac{32}{4-d}$，
由b3＞7，得4-d＞0，d=1，2，3，并代入①得，
经检验，d=1不符合题意，当d=2时，${b_n}={2^n}+3$，
当$d=3时，{b}_{n}=\frac{{2}^{2n-1}+1}{3}+4$．
点评 本题考查等比中项的性质，等比、等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式、性质，以及化简、变形能力，属于中档题．
探究与巩固河南科学技术出版社系列答案| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{5}$ |
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