题目内容
【题目】在矩形中,
,
,
、
、
、
分别为矩形四条边的中点,以
,
所在直线分别为
,
轴建立直角坐标系(如图所示).若
、
分别在线段
、
上.且
.
(Ⅰ)求证:直线与
的交点
总在椭圆
:
上;
(Ⅱ)若、
为曲线
上两点,且直线
与直线
的斜率之积为
,求证:直线
过定点.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;
【解析】
(Ⅰ)根据比值关系写出、
,再联合
、
写出直线
、
,再求出交点坐标,即可得证。
(Ⅱ)设出直线,联立方程,再利用斜率之积为
,求出
,即可得出定点
.
解(Ⅰ)∵,∴
,
又则直线
的方程为
①
又则直线
的方程为
②
联立①②: 解得
,
,∴直线
与
的交点
在椭圆
:
上;
(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,设
:
则,
∴
,不合题意,
②当直线的斜率存在时,设
:
,
,
.
联立方程得
则,
,
,
又
即,
将,
代入上式得
,
∴直线过定点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】年将在日本东京举办第
届夏季奥林匹克运动会,简称为“奥运会”,为了解不同年龄的人对“奥运会”的关注程度,某机构随机抽取了年龄在
岁之间的
人进行调查,经统计,“年轻人”与“中老年人”的人数之比为
.
关注 | 不关注 | 合计 | |
年轻人 | |||
中老年人 | |||
合计 |
|
(1)根据已知条件完成上面的列联表,并判断是否有
的把握认为是否关注“奥运会”与年龄段有关;
(2)现采用分层抽样的方法从中老年人中选取人进行问卷调查.若再从这
人中选取
人进行面对面询问,求事件“选取的
人中至少有
人关注奥运会”的概率.
附参考公式:,其中
临界值表:
|
| ||
|
【题目】随着人民生活水平的日益提高,某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.由于该小区建成时间较早,没有配套建造地下停车场,小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵.该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值,如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数,其余意义相同),得到如下数据:
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
数量 | 37 | 104 | 147 | 196 | 216 |
(1)若私家车的数量与年份编号
满足线性相关关系,求
关于
的线性回归方程,并预测2020年该小区的私家车数量;
(2)小区于2018年底完成了基础设施改造,划设了120个停车位.为解决小区车辆乱停乱放的问题,加强小区管理,物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区.由于车位有限,物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租,租期一年,竞拍方案如下:①截至2018年己登记在册的私家车业主拥有竞拍资格;②每车至多中请一个车位,由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价;③根据物价部门的规定,竞价不得超过1200元;④申请阶段截止后,将所有申请的业主报价自高到低排列,排在前120位的业主以其报价成交;⑤若最后出现并列的报价,则以提出申请的时间在前的业主成交,为预测本次竞拍的成交最低价,物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主,进行了竞拍意向的调查,并对他们的拟报竞价进行了统计,得到如图频率分布直方图:
(i)求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数;
(ii)如果所有符合条件的车主均参与竞拍,利用样本估计总体的思想,请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功?(精确到整数)
参考公式及数据:对于一组数据,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
;
.