题目内容
【题目】在矩形
中，
，
，
、
、
、
分别为矩形四条边的中点，以
，
所在直线分别为
，
轴建立直角坐标系（如图所示）.若
、
分别在线段
、
上.且
.
（Ⅰ）求证：直线
与
的交点
总在椭圆
：
上；
（Ⅱ）若
、
为曲线上两点，且直线
与直线
的斜率之积为
，求证：直线
过定点.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；
【解析】
（Ⅰ）根据比值关系写出
、
，再联合
、
写出直线
、
，再求出交点坐标，即可得证。
（Ⅱ）设出直线
，联立方程，再利用斜率之积为
，求出
，即可得出定点
.
解（Ⅰ）∵
，∴，
又则直线的方程为
①
又则直线的方程为
②
联立①②:
解得
，
，∴直线与的交点
在椭圆
：
上；
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设：
则
，
∴
，不合题意，
②当直线的斜率存在时，设：
，
，
.
联立方程
得
则
，
，
，
又
即
，
将，代入上式得，
∴直线过定点
.
心算口算巧算一课一练系列答案
【题目】
年将在日本东京举办第
届夏季奥林匹克运动会，简称为“奥运会”，为了解不同年龄的人对“奥运会”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在
岁之间的
人进行调查，经统计，“年轻人”与“中老年人”的人数之比为
.
关注 | 不关注 | 合计 | |
年轻人 |
| ||
中老年人 | |||
合计 |
|
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(1)根据已知条件完成上面的
列联表，并判断是否有
的把握认为是否关注“奥运会”与年龄段有关；
(2)现采用分层抽样的方法从中老年人中选取
人进行问卷调查.若再从这人中选取
人进行面对面询问，求事件“选取的人中至少有
人关注奥运会”的概率.
附参考公式:
，其中
临界值表:
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【题目】随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵．该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
数量 | 37 | 104 | 147 | 196 | 216 |
（1）若私家车的数量
与年份编号
满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量；
（2）小区于2018年底完成了基础设施改造，划设了120个停车位．为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方案如下：①截至2018年己登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多中请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规定，竞价不得超过1200元；④申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行了统计，得到如图频率分布直方图：
（i）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；
（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）
参考公式及数据：对于一组数据
，其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
；
．
