题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点
在
轴上,中心在坐标原点,长轴长为4,短轴长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在过的直线
,使得直线
与椭圆
交于
,
?若存在,请求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在;直线
或
【解析】
(1)由长轴和短轴可得,从而得椭圆方程;
(2)当直线的斜率不存在时,不满足条件;假设存在斜率存在的过点
的直线
,使得直线
与椭圆
交于
,
,设
,设直线
的方程为
,与椭圆方程联立,消元后应用韦达定理得
,
说明
,代入
可求得
,得直线方程.
解:(1)设椭圆的方程为,
可得,即
,
所以椭圆的方程为;
(2)当直线的斜率不存在时,不满足条件;
假设存在过点的直线
,使得直线
与椭圆
交于
,
,
设直线的方程为
,联立椭圆的方程得
,
设,
,
,即
,
由,化为
,
得,
化为,解得
,
所在存在直线或
满足条件.
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