Question

【题目】已知数列{an}满足a1=4，an+1=qan+d（q，d为常数）．
（1）当q=1，d=2时，求a2017的值；
（2）当q=3，d=﹣2时，记 ，Sn=b1+b2+b3+…+bn ， 证明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵数列{an}满足a1=4，an+1=qan+d（q，d为常数）．

∴当q=1，d=2时，an+1﹣an=2，

∴数列{an}是首项a1=4，公差d=2的等差数列，

∴an=4+（n﹣1）×2=2n+2，

∴a2017=2×2017+2=4036

（2）证明：当q=3，d=﹣2时，an+1=3an﹣2变形得an+1﹣1=3（an﹣1）

∴数列{an﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列，

∴ ，∴ ，

∴数列{bn}是以 为首项， 为公比的等比数列，

∴ ，

∴

【解析】（1）当q=1，d=2时，an+1﹣an=2，从而数列{an}是首项a1=4，公差d=2的等差数列，由此能求出a2017 ． （2）当q=3，d=﹣2时，an+1=3an﹣2变形得an+1﹣1=3（an﹣1），从而数列{an﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列，进而数列{bn}是以 为首项， 为公比的等比数列，由此能证明 ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．