题目内容
【题目】如图,正三棱柱所有棱长都是2,D棱AC的中点,E是
棱的中点,AE交
于点H.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求点到平面
的距离.
【答案】(1)参考解析;(2) ;(3)
【解析】
试题分析:(1)由正三棱柱,可得平面ACB⊥平面
.又DB⊥AC.所以如图建立空间直角坐标系.分别点A,E,B,D,
的坐标,得出相应的向量.即可得到向量AE与向量BD,向量
的数量积为零.即可得直线
平面
.
(2)由平面,平面
分别求出这两个平面的法向量,根据法向量的夹角得到二面角
的余弦值(根据图形取锐角).
(3)点到平面的距离,转化为直线与法向量的关系,再通过解三角形的知识即可得点到平面的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.
试题解析:(1)证明:建立如图所示,
∵
∴ 即AE⊥A1D, AE⊥BD
∴AE⊥面A1BD
(2)由 ∴取
设面AA1B的法向量为
,
由图可知二面角D—BA1—A的余弦值为
(3),平面A1BD的法向量取
则B1到平面A1BD的距离d=
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