Question

3．设非空数集A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={y|y=x²，x∈A}，若B∪C=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据条件先求出集合B，C，利用条件B∪C=B得C⊆B，然后对集合C分类讨论求实数a的取值范围．

解答 解：∵非空集合A={x|-2≤x≤a}，∴a≥-2，
∴B={y|y=2x+3，x∈A}={y|y=2x+3，-2≤x≤a}={y|-1≤y≤2a+3}，
C={y|y=x²，x∈A}={y|y=x²，-2≤x≤a}，
①若-2≤a≤0，则C={y|a²≤y≤4}，
若B∪C=B，则C⊆B，
由C⊆B，得2a+3≥4，解得a≥$\frac{1}{2}$不成立，舍去．
②若0＜a≤2，则C={y|0≤y≤4}，
由C⊆B，得2a+3≥4，解得a≥$\frac{1}{2}$，此时$\frac{1}{2}$≤a≤2成立．
③若a＞2，则C={y|0≤y≤a²}，
由C⊆B，得2a+3≥a²，
即a²-2a-3≤0，
即（a-3）（a+1）≤0，解得-1≤a≤3，
此时2＜a≤3成立．
综上：$\frac{1}{2}$≤a≤2或2＜a≤3，即$\frac{1}{2}$≤a≤3，
∴求实数a的取值范围为[$\frac{1}{2}，3$]．

点评 本题主要考查集合关系的应用，利用集合之间的关系求出集合B、C是解决本题的关键，要对集合C进行分类讨论，是中档题．