题目内容
【题目】已知点,点
为平面上动点,过点
作直线
的垂线,垂足为
,且
.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)过点的直线与轨迹
交于
两点,在
处分别作轨迹
的切线交于点
,设直线
的斜率分别为
,
,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)设P(x,y),则H(﹣1,y),通过向量的数量积求出动点P的轨迹C的方程.
(2)证明:设点M(x0,y0)(x0≠0)为轨迹C上一点,直线m:y=k0(x﹣x0)+y0为轨迹C的切线,联立在与椭圆方程,利用判别式求出其判别式,求出,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB:y=k(x﹣1),直线与抛物线方程,利用韦达定理求解斜率乘积即可.
试题解析:
(1)设,则
,有
,
,
,
,从而由题意
,得动点P的轨迹C的方程y2=4x.
(2)证明:设点(x0≠0)为轨迹C上一点,直线m:y=k0(x-x0)+y0为轨迹C的切线,有
,消去x得,k0y24y4k0x0+y0=0,其判别式△=16-4k0(-4k0x0+4y0)=0,解得
,有m:
,设
得根据
所以为定值.
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