题目内容
【题目】已知函数f(x)=.
(1)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)在(﹣∞,1)上为增函数,求实数a的取值范围.
【答案】(1)或; (2)[1,2].
【解析】
(1)根据题意,设t=x2﹣2ax+3,则y=logt,若函数f(x)的值域为R,结合对数函数的性质分析可得:对于t=x2﹣2ax+3,必有△=(﹣2a)2﹣12≥0,解可得a的取值范围,即可得答案;
(2)由复合函数以及对数函数、二次函数的性质分析可得,解可得a的取值范围,即可得答案.
(1)根据题意,函数f(x)=log(x2﹣2ax+3),
设t=x2﹣2ax+3,则y=,
若函数f(x)的值域为R,对于t=x2﹣2ax+3,必有△=(﹣2a)2﹣12≥0,
解可得:a≥或a≤﹣,
(2)设t=x2﹣2ax+3,则y=,
函数y=为减函数,
若函数f(x)在(﹣∞,1)上为增函数,
则函数t=x2﹣2ax+3在(﹣∞,1)上为减函数,且t=x2﹣2ax+3>0在(﹣∞,1)上恒成立,
即 ,解可得1≤a≤2,
即a的取值范围为[1,2].
【题目】雾霾影响人们的身体健康,越来越多的人开始关心如何少产生雾霾,春节前夕,某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度,随机采访了50人,将凋查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 6 | 12 | 7 | 3 | 3 |
(1)以赞同人数的频率为概率,若再随机采访3人,求至少有1人持赞同态度的概率;
(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.