题目内容
【题目】如图,几何体是四棱锥,△
为正三角形,
.
(1)求证:;
(2)若∠,M为线段AE的中点,求证:
∥平面
.
【答案】(1)见解析 (2) 见解析
【解析】本题考查直线与平面平行的判定,考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用,着重考查分析推理能力与表达、运算能力,属于中档题.
(1)设BD中点为O,连接OC,OE,则CO⊥BD,CE⊥BD,于是BD⊥平面OCE,从而BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分线,问题解决;
(2)证法一:取AB中点N,连接MN,DN,MN,易证MN∥平面BEC,DN∥平面BEC,由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC,又DM平面DMN,于是DM∥平面BEC;
证法二:延长AD,BC交于点F,连接EF,易证AB= AF,D为线段AF的中点,连接DM,则DM∥EF,由线面平行的判定定理即可证得结论.
(I)设中点为O,连接OC,OE,则由
知,
,…………2分
又已知,所以
平面OCE. …………4分
所以,即OE是BD的垂直平分线,
所以.…………6分
(II)取AB中点N,连接,
∵M是AE的中点,∴∥
,…………8分
∵△是等边三角形,∴
.
由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即,
所以ND∥BC,…………10分
所以平面MND∥平面BEC,故DM∥平面BEC. …………12分
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