题目内容

已知圆O的方程为x2+y2=3,且P(x,y)是圆O上任意一点,则
x+y-5
x-2
的取值范围______.
∵圆O的方程为x2+y2=3,∴圆心为O(0,0),半径r=
3

设z=
x+y-5
x-2
=1+
y-3
x-2
,设Q(2,3),
∵P(x,y)是圆O:x2+y2=3上任意一点,
∴k=
y-3
x-2
,表示P、Q两点连线的斜率.
设PQ的方程为y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0.
由点O到直线PQ的距离小于或等于半径,
|-2k+3|
k2+1
3
,解之得6-
30
≤k≤6+
30

因此,可得z=
x+y-5
x-2
=1+k∈[7-
30
,7+
30
].
故答案为:[7-
30
,7+
30
]
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