Question

【题目】已知为直角梯形，，平面，，.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

建立空间直角坐标系.

（1）方法一，利用向量的方法，通过计算，，证得，，由此证得平面.

方法二，利用几何法，通过平面证得，结合证得，由此证得平面.

（2）通过平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

可得，，，.

（1）证明法一：因为，，，

所以，，

所以，，，平面，平面，

所以平面.

证明法二：因为平面，平面，所以，又因为，即，，平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）知平面的一个法向量，

设平面的法向量，

又，，

且

所以

所以平面的一个法向量为，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.