题目内容
【题目】已知坐标平面上动点与两个定点
,
,且
.
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中轨迹为,过点
的直线
被
所截得的线段长度为8,求直线
的方程.
【答案】(1),轨迹是以
为圆心,以5为半径的圆;(2)直线
的方程为
或
.
【解析】试题分析:(1)根据题意,分析可得,对其化简整理变形可得
,由圆的标准方程即可得答案;
(2)分两种情况讨论:①当直线l的斜率不存在,②当直线l的斜率存在时,每种情况下先设出直线的方程,利用直线l被C所截得的线段长度为8,可得关于k的方程,解可得k的值,综合即可得答案.
试题解析:
(Ⅰ)由题意,得,即:
,
化简,得: ,
所以点的轨迹方程是
.
轨迹是以为圆心,以5为半径的圆.
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,
,
此时所截得的线段的长为.
所以符合题意.
当直线的斜率存在时,设
的方程为
,
即,圆心到
的距离
,
由题意,得,解得
.
所以直线的方程为
,
即.综上,直线
的方程为
或
.
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