Question

5．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥DC，平面DEC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AF∥DE，AF=$\frac{1}{3}$DE，点M在线段BD上，且DM=$\frac{2}{3}$BD，求证：AM∥平面BEF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由空间中的垂直关系以及菱形的对角线互相垂直，证出AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）证法一，延长EF，DA，交于点G，证明AM∥GB即可；
证法二，在△EDB中，过点M作MN∥DE，MN∩BE=N，连接FN，证明四边形AMNF为平行四边形，得AM∥FN即可．

解答 证明：（Ⅰ）因为平面DEC⊥平面ABCD，
DE⊥DC，平面DEC∩平面ABCD=DC，
DE?平面DEC，
所以DE⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，
所以DE⊥AC，
因为ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
又BD∩DE=D，
BD、DE?平面BDE，
∴AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）如图所示，
证法一，延长EF，DA，交于点G，
因为AF∥DE，AF=$\frac{1}{3}$DE，
所以$\frac{GA}{GD}$=$\frac{AF}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
因为DM=$\frac{2}{3}$BD，所以BM=$\frac{1}{3}$BD，
因此$\frac{BM}{BD}$=$\frac{1}{3}$，所以$\frac{BM}{BD}$=$\frac{GA}{GD}$=$\frac{1}{3}$，
所以AM∥GB，
又AM?平面BEF，GB?平面PEF，
所以AM∥平面PEF．
证法二，在△EDB中，过点M作MN∥DE，MN∩BE=N，
连接FN，
因为AF∥DE，
所以MN∥AF，
因为DM=$\frac{2}{3}$BD，所以BM=$\frac{1}{3}$BD，
$\frac{MN}{DE}$=$\frac{BM}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
又$\frac{AF}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
所以MN=AF，
所以四边形AMNF为平行四边形，
所以AM∥FN，
因为AM?平面BEF，
所以AM∥平面BEF．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是综合性题目．