Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sinωx，cos²ωx-sin²ωx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosωx，1）其中ω＞0，x∈R，若函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最小正周期为π．
（1）求ω的值及f（x）的对称轴方程；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若f（B）=-2，BC=$\sqrt{3}$，2bcosA=$\sqrt{3}$（ccosA+acosC），求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量级运算法则，确定函数的解析式，并化简，利用三角函数图象与性质确定函数的对称轴和ω的值．
（2）根据f（B）的值，求得B，利用第二个等式求得A，最后求得C，利用向量的数量积公式求得答案．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx-sin²ωx=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1；对称轴方程：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
（2）依题意知sin（2B+$\frac{π}{6}$）=-1，2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，B=$\frac{2π}{3}$，
∵2bcosA=$\sqrt{3}$（ccosA+acosC），
即∴2sinBcosA=$\sqrt{3}$（sinCcosA+sinAcosC）=$\sqrt{3}$sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinB，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，
∴C=π-A-B=$\frac{π}{6}$，
∴BA=BC=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=|AB|•|BC|•cosB=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数图象与性质，向量的数量积运算，三角函数恒等变换的应用．综合考查了学生分析问题和运算能力．