Question

【题目】已知函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（﹣1，3），且关于直线x=1对称
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若m＜3，求函数f（x）在区间[m，3]上的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（﹣1，3），且关于直线x=1对称，

∴ ，

解得b=﹣2，c=0，

∴f（x）=x2﹣2x．

（Ⅱ）当1≤m＜3时，f（x）min=f（m）=m2﹣2m，

f（x）max=f（3）=9﹣6=3，

∴f（x）的值域为[m2﹣2m，3]；

当﹣1≤m＜1时，f（x）min=f（1）=1﹣2=﹣1，

f（x）max=f（﹣1）=1+2=3，

∴f（x）的值域为[﹣1，3]．

当m＜﹣1时，f（x）min=f（1）=1﹣2=﹣1，

f（x）max=f（m）=m2﹣2m，

∴f（x）的值域为[﹣1，m2﹣2m]

【解析】（Ⅰ）由函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（﹣1，3），且关于直线x=1对称，列出方程组，能求出b和c，由此能求出结果．（Ⅱ）根据1≤m＜3，﹣1≤m＜1，m＜﹣1三种情况分类讨论，能求出f（x）的值域．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．