Question

【题目】如图，已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 焦距为2，过点F2作直线l交椭圆于M、N两点，△F1MN的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l分别交直线y= x，y=﹣ x于P，Q两点，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，

过点F2作直线l交椭圆于M、N两点，△F1MN的周长为8．

∴ ，解得a=2，b= ，c=1，

∴椭圆方程为 ．

（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，

联立 ，消去x，整理，得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则 ， ，

设P（x3，y3），N（x4，y4），

联立 ，得 ，同理 ，

|PQ|= = ，

∴ = = ，

当0≤m2≤4时， = ∈[0， ]，

当m2＞4时， = ∈（0， ），

∴ 的取值范围是[0， ]．

【解析】（Ⅰ）由椭圆的焦距为2，过点F2作直线l交椭圆于M、N两点，△F1MN的周长为8，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，联立 ，得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出 的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．